From: Gottfried.W.Leibniz@cielodelsole.par
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Object: Equazioni degli inviluppi

Caro Epsi,
eccoti le equazioni dei diversi inviluppi che abbiamo incontrato durante la chat.

Inviluppi di rette:

Figura	Tangenti	Inviluppo	
Circonferenza 	x cos t + y sin t = 1	x2 + y2 = 1	
Parabola standard	y = 2 t x – t2	y = x2	
Parabola tangente agli assi	bxt + ay(1 – t) = ab(t – t2 )	(bx – ay)2  + a2 b2  = 2ab(bx + ay)	
Astroide	x cos t + y sin t = sin t cos t	x2/3 + y2/3 = 1	

Inviluppi di curve:

Figura	Curve	Inviluppo	
Cono di Mach	(x - v t)2  + y2  = c2 t2	x2 = (M2  – 1) y2    con M = v/c > 1	
Parabola di sicurezza			
Lamina d’acqua
		
y = H – x	

Ora ti spiego come si ottengono. Per ottenere l’inviluppo di una famiglia di curve qualsiasi, definite nel piano dall’equazione in forma implicita f(x, y, t) = 0, ti basta annullare, oltre a f, anche la derivata della funzione f rispetto a t, come se x e y fossero delle costanti, e quindi eliminare il parametro t tra queste due equazioni.
Prendi il primo esempio riportato: le rette di equazione x cos t + y sin t = 1, al variare del parametro t. 
Deriva (ti ricordo che la variabile è t, quindi x e y le devi considerare come costanti) e ottieni l’equazione – x sin t + y cos t = 0. A questo punto per eliminare il parametro t ti conviene prima risolvere il sistema in x e y, ottenendo x = cos t e y = sin t, e quindi sostituire queste due espressioni nella prima equazione in modo da eliminare t e ottenere: x2 + y2 = 1.
Così puoi fare in tutti gli altri casi, se non hai difficoltà nei calcoli algebrici. 

Buon lavoro!

Tuo 
Fried