From: Isaac.Newton@antipurgatorio.purg
To: Trucidi_alcioni.nidicoli_curati.ridicoli_tucani@crudi_licaoni.it
Object: Omeopatia, frazioni continue e formula di Wallis

Caro Epsi, 
intanto la tua risposta è giusta; nel cap. 12 – “se l’antiveder qui non è vano”, direbbe Dante – ti spiegherò le regole per capire se un algoritmo converge o no. 
Ti spiego ora la faccenda dell’omeopatia. Sai, io ero un po’ alchimista, queste cose – anche se inventate dopo di me, nella prima metà dell’Ottocento, da un tale Samuel Hahnemann, sulla base del principio “similia similibus curentur” – m’interessano sempre. Tu sai che i principi dell’omeopatia impongono di diluire più volte una sostanza attiva, per esempio nel rapporto 1:100, scuotendola ogni volta, ottenendo così soluzioni sempre più diluite. Supponi dunque di avere un principio attivo, di diluirlo e ottenere la “prima diluizione centesimale” (1CH) all’1%, poi di diluirlo ancora e ottenere una soluzione (2CH) allo 0,1%, e così via, fino, eventualmente, alla trentesima (30CH).
Poiché in tre litri d’acqua (per fare i conti facili) ci sono circa 1026 molecole, capisci bene che già alla tredicesima centesimale hai mediamente solo una molecola di principio attivo sui tre litri di “medicamento” ottenuti. 

Per passare a cose più serie, eccoti come si costruisce la frazione continua aritmetica generatrice di un numero reale x qualsiasi. Basta scrivere, come abbiamo detto, 

dove i bk sono le parti intere, e quello che resta (la “mantissa”) è minore di 1. Dunque il suo inverso è ancora maggiore di 1, ha una parte intera non nulla, e così via. 
	Per evitare di scrivere tutte queste frazioni a più piani, si usa la notazione

o anche x = [b0 , b1 , b2 , b3 , …]. 
	Comunque si possono considerare anche frazioni un po’ più generali, del tipo 

Le frazioni continue sono il limite delle approssimanti (o ridotte) fn = An / Bn, ove i numeratori e denominatori parziali sono dati dalle formule di ricorrenza

An = bnAn–1 + anAn–2
Bn = bnBn–1 + anBn–2
a partire da A–1 = 1, A0 = b0, B–1 = 0, B0 = 1.

Le frazioni continue forniscono delle “migliori approssimazioni” di x, nel senso che se p/q soddisfa la disuguaglianza |x – p/q| < |x – A/B|, con A/B ridotta, si ha necessariamente q > B. Esistono anche altre migliori approssimazioni; tuttavia se risulta | x – p/q| < 1/2q2, allora p/q è una ridotta.

Ed eccoti una sintetica dimostrazione della formula di Wallis  (ti basta un po’ di analisi da liceo). 
Poni In = . Risulta (integrando per parti) n·In = ( n –1)·I(n–2) ; facilmente quindi ottieni le relazioni I2m = am·/2, I2m+1 = , dove.
Poiché 0  sin x  1, la successione {In} è strettamente decrescente. Dunque I2m+2 < I2m+1 < I2m , e quindi, dividendo per am, . Per m   si ha il risultato di Wallis. 
La convergenza (l’approssimazione è per difetto; per eccesso se ci si arresta a uno solo di due fattori pari uguali a numeratore, per esempio, a 8/7, trascurando il successivo 8/9) è assai mediocre, l’errore essendo dell’ordine di /(8m). 
	Notando che , ecc., hai la formula equivalente: 

Vedi che belle cose sapevamo fare ai miei tempi?

Tuo
Isaac